Изследователите разкриха, че изкуственият интелект “Claude Fable 5” е идентифицирал решаващ контрапример, който слага край на хипотезата на Якоби, математическо предизвикателство, което интригува умовете от почти век. Откритието, докладвано от Левент Алпоге, математик, свързан с Anthropic, демонстрира нарастващия потенциал на ИИ при решаването на сложни и дългогодишни проблеми в науката.
Как изкуственият интелект реши 87-годишен проблем
Математикът Левент Алпоге от Антропик е отговорен за откриването на контрапримера на хипотезата на Якоби. Решението, което остава без отговор в продължение на 87 години, е намерено с помощта на AI модела “Claude Fable 5”. Alpoge беше насърчен да преследва това решение от математика Акил Матю, а изкуственият интелект работи върху проблема по време на финала на Световното първенство по футбол.
Какво представлява хипотезата на Якоби и защо е важна
Хипотезата на Якоби, формулирана в общата си форма през 1939 г. от немския математик Ото-Хайнрих Келер, е проблем, който поставя под съмнение фундаментално свойство на полиномните функции. Това предполага, че ако якобианската детерминанта на полиномиална карта, която преобразува n комплексни променливи в същите n променливи, е ненулева константа, тогава трябва да съществува обратна карта, която също може да бъде изразена като полином. По същество въпросът е дали свойство на локална “обратимост” във всички точки предполага глобална полиномна обратимост за цялата функция.
Разбиране на ролята на детерминанта на Якоби в математиката
В математиката, когато функция връща един и същ изход за различни входове, оригиналният вход не може да бъде уникален. Процесът на връщане от изхода към входа се нарича обратна функция. Въпреки това, функция с множество входове към един и същ изход не може да има уникална обратна функция в целия си домейн. За многопроменливи функции, способността за възстановяване на функцията в тесен диапазон се изследва чрез детерминанта на Якоби. Тази стойност се изчислява при всяка входна точка и представлява промяната в локалната площ или обем, като се използва линейно приближение. Нулев детерминант на Якоби показва, че информацията е била изгубена в някаква посока, което прави невъзможно еднократното възстановяване на входа. Ако е различно от нула, информацията се запазва, като се гарантира локално проследяване на входа и изхода.
Решаващото откритие на контрапримера от Клод Басня 5
Изкуственият интелект Claude Fable 5 откри полиномиално картографиране, при което якобианската детерминанта винаги приема постоянна стойност от -2. Бяха открити обаче три различни входа, които водят до един и същ изход, което противоречи на хипотезата на Якоби.
- Различни входове:
- * (0, 0, -1/4)
* (1, -3/2, 13/2)
* (-1, 3/2, 13/2) - Идентичен изход за всички входове:(-1/4, 0, 0)
Тази демонстрация показва, че хипотезата на Якоби е невярна за три или повече променливи, доказвайки, че съществуването на обратна карта в цялото пространство не е гарантирано само от свойството на постоянния детерминант на Якоби.
Значението на проверката и човешкото разбиране след откриването
Въпреки впечатляващото откритие на AI, простото генериране на формула от изкуствена система не гарантира автоматично нейната валидност като контрапример. Малки грешки при изчисление или заместване могат да обезсилят цялото заключение. Поради тази причина независимото валидиране от човешки експерти или софтуер за проверка става от съществено значение.
След разкритието имаше усилие да се формализира доказателството с помощта на системата за поддръжка на доказателство на теоремата “Lean”. Пол Рузо, докторант по формализирана математика в Imperial College London, разработи Lean контрапример и го качи в „Formal Conjectures“, хранилище на математически предположения, поддържано от Google DeepMind. Понастоящем заявката за изтегляне е в процес на преглед, но вече е възможно да се провери последователността на якобианския детерминант и неинжективността на картографирането, потвърждавайки липсата на обратни картографирания в цялото пространство.
Следващите стъпки в сътрудничеството между хората и изкуствения интелект
Проектът Xena, фокусиран върху формализираната математика, посочва, че следващото голямо предизвикателство е не само потвърждаването на коректността на контрапримера, но и позволяването на хората да разберат дълбоко причините, поради които той е валиден. Този епизод подчертава нарастващото взаимодействие между изчислителната мощ на изкуствения интелект и човешката аналитична проницателност, отваряйки нови граници в математическите изследвания и решавайки проблеми, които отдавна не се разбират. Сътрудничеството обещава да ускори напредъка в сложни области чрез комбиниране на скоростта на AI с дълбочината на човешките разсъждения.
